Consejos útiles

Las coordenadas del vértice de la parábola.

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Muchos problemas técnicos, económicos y sociales se predicen utilizando curvas. El tipo más utilizado entre ellos es la parábola, o más bien, la mitad. Un componente importante de cualquier curva parabólica es su vértice, la determinación de las coordenadas exactas de las cuales a veces juega un papel clave no solo en la visualización del proceso, sino también para conclusiones posteriores. Cómo encontrar sus coordenadas exactas se discutirá en este artículo ...

Inicio de búsqueda

Antes de proceder a la búsqueda de las coordenadas del vértice de la parábola, nos familiarizaremos con la definición y sus propiedades. En el sentido clásico, una parábola es una disposición de puntos que eliminado a la misma distancia de un punto específico (foco, punto F), así como desde una línea recta que no pasa por el punto F. Consideremos esta definición con más detalle en la Figura 1.

Figura 1. Vista clásica de una parábola.

La figura muestra la forma clásica. El foco es el punto F. En este caso, la directriz se considera una línea paralela al eje Y (resaltada en rojo). A partir de la definición, puede asegurarse de que absolutamente cualquier punto de la curva, sin contar el enfoque, tenga un aspecto similar, por otro lado, eliminado a la misma distancia del eje de simetría que él mismo. Además, la distancia desde cualquiera de los puntos de la parábola. igual a la distancia al director. Mirando hacia el futuro, decimos que el centro de la función no tiene que estar en el origen y que las ramas se pueden dirigir en diferentes direcciones.

La parábola, como cualquier otra función, tiene su propia entrada en forma de fórmula:

(1).

En la fórmula indicada, la letra "s" denota el parámetro de parábola, que es igual a la distancia desde el foco hasta la directriz. También hay otra forma de grabación, indicada por el GMT, que tiene la forma:

(2).

Esta fórmula se usa para resolver problemas del campo del análisis matemático y se usa con más frecuencia que la tradicional (por conveniencia). En el futuro, nos centraremos en el segundo registro.

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El valor numérico de la coordenada del vértice en la abscisa.

Si la ecuación de la parábola se da en la forma clásica (1), entonces el valor de la abscisa en el punto deseado será igual a la mitad del valor del parámetro s (la mitad de la distancia entre el director y el foco). Si la función se presenta en la forma (2), entonces x cero se calcula mediante la fórmula:

(3).

Es decir, observando esta fórmula, se puede argumentar que el vértice estará en la mitad derecha con respecto al eje y si uno de los parámetros aob es menor que cero.

La ecuación de directriz se define mediante la siguiente ecuación:

(4).

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El valor de vértice en el eje y

La siguiente fórmula puede encontrar el valor numérico de la ubicación del vértice para la fórmula (2) en el eje de ordenadas:

.

De esto podemos concluir que si a & lt, 0, entonces la parte superior de la curva estará en el semiplano superiorde lo contrario, en la parte inferior. En este caso, los puntos de la parábola tendrán las mismas propiedades que se mencionaron anteriormente.

Si se da la forma clásica de escritura, entonces será más racional calcular el valor de la ubicación del vértice en el eje de abscisas y, a través de él, el valor de ordenada posterior. Tenga en cuenta que para la forma de grabación (2), el eje de simetría de la parábola, en la representación clásica, coincidirá con el eje de ordenadas.

Importante! Al resolver tareas utilizando la ecuación de la parábola, en primer lugar, resalte los valores principales que ya se conocen. Además, será útil si se determinan los parámetros que faltan. Tal enfoque dará un mayor "margen de maniobra" y una solución más racional de antemano. En la práctica, intente usar la notación (2). Es más fácil de percibir (no es necesario "voltear las coordenadas de Descartes), además, la gran mayoría de las tareas están adaptadas precisamente para esta forma de escritura.

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Construcción de una curva de tipo parabólico.

Usando una notación común, antes de construir una parábola, necesitas encontrar su vértice. En pocas palabras, debe ejecutar el siguiente algoritmo:

  1. Encuentra el vértice de coordenadas en el eje x.
  2. Encuentre la coordenada de la ubicación del vértice en el eje Y.
  3. Sustituyendo diferentes valores de la variable dependiente X, encuentre los valores correspondientes de Y y construya una curva.

Es decir el algoritmo no es nada complicado, el énfasis principal está en cómo encontrar la parte superior de la parábola. El proceso de construcción adicional puede considerarse mecánico.

Siempre que se den tres puntos cuyas coordenadas se conocen, primero es necesario trazar la ecuación de la parábola misma y luego repetir el procedimiento descrito anteriormente. Porque en la ecuación (2) hay 3 coeficientes, luego, usando las coordenadas de los puntos, calculamos cada uno de ellos:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

En las fórmulas (5.1), (5.2), (5.3), respectivamente, se utilizan esos puntos que son conocidos (por ejemplo, A (, B (, C (. De esta manera encontramos la ecuación de la parábola en 3 puntos. Desde el punto de vista práctico, este enfoque no es el más) agradable ”, sin embargo, da un resultado claro, en base al cual la curva misma se construye posteriormente.

Al construir una parábola siempre debe haber un eje de simetría. La fórmula del eje de simetría para escribir (2) se verá así:

(6).

Es decir Encontrar el eje de simetría con el que todos los puntos de la curva son simétricos no es difícil. Más precisamente, es igual a la primera coordenada del vértice.

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Buenos ejemplos

Ejemplo 1. Supongamos que tenemos la ecuación de la parábola:

Se requiere encontrar las coordenadas del vértice de la parábola y también verificar si el punto D (10, 5) pertenece a esta curva.

Solución: en primer lugar, verificamos que el punto mencionado pertenece a la curva misma

De donde concluimos que el punto indicado no pertenece a la curva dada. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola. De las fórmulas (4) y (5) obtenemos la siguiente secuencia:

Resulta que las coordenadas en la parte superior, en el punto O, son las siguientes (-1.25, -7.625). Esto sugiere que nuestro la parábola se origina en el tercer trimestre del sistema cartesiano coordenadas

Ejemplo 2. Encuentra el vértice de una parábola, conociendo tres puntos que le pertenecen: A (2,3), B (3,5), C (6,2). Usando las fórmulas (5.1), (5.2), (5.3), encontramos los coeficientes de la ecuación de la parábola. Obtenemos lo siguiente:

Usando los valores obtenidos, obtenemos la siguiente ecuación:

En la figura, la función especificada se verá así (Figura 2):

Figura 2. Gráfico de una parábola que pasa por 3 puntos.

Es decir La tabla de parábolas, que se extiende a lo largo de tres puntos dados, tendrá un vértice en el primer trimestre. Sin embargo, las ramas de esta curva se dirigen hacia abajo, es decir. Hay una parábola desplazada desde el origen. Tal construcción podría preverse prestando atención a los coeficientes a, b, c.

En particular, si a & lt, 0, entonces las ramas serán dirigidas hacia abajo. Con a & gt, 1 la curva se estirará y, si es inferior a 1, se comprimirá.

La constante c es responsable del "movimiento" de la curva a lo largo del eje de ordenadas. Si c & gt, 0, entonces la parábola se arrastrade lo contrario, abajo. Con respecto al coeficiente b, es posible determinar el grado de influencia solo cambiando la forma de la ecuación, llevándola a la siguiente forma:

Si el coeficiente es b & gt, 0, entonces las coordenadas del vértice de la parábola se desplazarán a la derecha por unidades de b, si es menor, entonces por unidades de b a la izquierda.

Importante! El uso de técnicas para determinar el desplazamiento de una parábola en el plano de coordenadas a veces ayuda a ahorrar tiempo para resolver problemas o para aprender sobre la posible intersección de una parábola con otra curva, incluso antes de la construcción. Por lo general, solo miran el coeficiente a, ya que es él quien da una respuesta clara a la pregunta planteada.

Video útil: cómo encontrar la parte superior de la parábola

Video útil: cómo dibujar fácilmente una ecuación de parábola a partir de un gráfico

Tal como un proceso algebraico, como determinar los vértices de una parábola, no es complicado, pero al mismo tiempo bastante laborioso. En la práctica, intentan usar la segunda forma de grabación para facilitar la comprensión de la solución gráfica y la solución en su conjunto. Por lo tanto, le recomendamos encarecidamente que utilice este enfoque, y si no recuerda las fórmulas de coordenadas de vértice, al menos tenga una hoja de trucos.

2 comentarios

Al examinar una función cuadrática cuya gráfica es una parábola, en uno de los puntos es necesario encontrar las coordenadas del vértice de la parábola. ¿Cómo hacer esto analíticamente usando la ecuación dada para la parábola?

Espero, el artículo anterior solo describe cómo encontrar las coordenadas del vértice de una parábola. La abscisa se encuentra por la fórmula x0 = -b / 2a. Para encontrar la ordenada, es suficiente sustituir el valor encontrado x0 en lugar de cada x en la fórmula de la función y calcular.

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