Consejos útiles

Cómo calcular los intereses acumulados condicionalmente

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Deje que la tasa de interés compuesta anual sea j , y el número de períodos de acumulación en el año m . Luego, cada vez que se cobran intereses a la tasa j / m . Oferta j llamado nominal. El interés a la tasa nominal se calcula de acuerdo con la fórmula:

(1)

donde N es Número total de períodos de acumulación.

Si el plazo del préstamo se mide por un número fraccional de períodos de acumulación, entonces en t un año de devengo de intereses por año, el monto acumulado se puede calcular de varias maneras, lo que lleva a resultados diferentes.

El banco invirtió dinero en la cantidad de 5 mil rublos. durante dos años con una acumulación semestral de intereses compuestos a una tasa del 20% anual. Determine la cantidad acumulada y compárela con el caso si los intereses se acumulan trimestralmente.

Defina el importe acumulado durante la acumulación de intereses semestral mediante la fórmula (1):

= 5 × (1 + 0.2 / 2) 4 = 7.3205 mil p.

Si la acumulación se realizará trimestralmente, la cantidad al final de dos años será:

S = 5 × (1 + 0.2 / 4) 8 = 7.387 mil p.

El monto acumulado durante la acumulación de intereses semestral al final de dos años ascenderá a 7.3205 mil rublos, y con el trimestre - 7.387 mil rublos.

Además, podemos sacar las siguientes conclusiones:

- cuanto más a menudo durante el año se produce la acumulación de intereses compuestos, mayor es la cantidad acumulada,

- cuando se calcula un interés compuesto del 12% anual, no es equivalente al 1% mensual,

- para un porcentaje simple, estas conclusiones no son válidas. Una de las propiedades características de la acumulación de intereses simples es que la cantidad acumulada no depende de la frecuencia de acumulación de intereses simples. Por ejemplo, un aumento en el interés simple anualmente a una tasa del 12% anual da el mismo resultado que un aumento mensual durante un año a una tasa del 1% por mes.

- cuando se acumula a interés compuesto, la acumulación mensual trae más resultados que la acumulación anual.

El tamaño del préstamo es de 500 mil rublos, se otorga por 28 meses. La tasa nominal es del 20% anual compuesto. Devengo de intereses trimestralmente. Calcule la cantidad acumulada en tres situaciones:

- cuando se devengan intereses compuestos en la parte fraccionaria,

- cuando se acumula un interés simple en la parte fraccionaria,

- cuando la parte fraccional no se tiene en cuenta.

Comparación de resultados de cálculo.

Devengo de intereses trimestralmente. En total hay 28/3 cuartos.

Definimos la cantidad acumulada cuando el interés compuesto se carga a la parte fraccionaria:

S = 20 (1 + 0.6 / 4) 28/3 = 73.713 mil rublos

Calculamos la cantidad acumulada cuando se acumula un interés compuesto durante la mayor parte del año, y se acumula un interés simple en la parte fraccionaria:

S = 20 (1 + 0.6 / 4) 9 (1 + 0.6 / 4 × 1/3) = 73.875 mil rublos

Encuentre la cantidad acumulada cuando la parte fraccional del año no se tiene en cuenta:

S = 20 (l + 0.6 / 4) 9 = 70.358 mil rublos

Las cantidades acumuladas en los tres casos considerados son 73, 713 mil rublos, 73.875 mil rublos, 70.358 mil rublos.

De los resultados de cálculo obtenidos se deduce que la cantidad acumulada alcanza su valor máximo en el segundo caso, es decir cuando se acumula un porcentaje simple en la parte fraccionaria, el valor más bajo es en el tercer caso, cuando el aumento en la parte fraccional del año no se tiene en cuenta.

2.2. El interés aumenta una vez al año. Tasas de interés nominales y efectivas.

Tasa nominal El interés, por regla general, se capitaliza no una vez, sino varias veces al año, durante seis meses, trimestres, etc. Al calcular el interés varias veces al año, puede usar la fórmula (2.1). Parámetro n en estas condiciones significará el número de períodos de acumulación y por debajo de la tasa yo Debe comprender la tasa para el período correspondiente. En la práctica, como regla general, en los contratos, no se fija la tasa para el período de acumulación, sino la tasa anual; al mismo tiempo, se indica el período de acumulación de intereses. Por ejemplo, "18% anual con intereses mensuales".

Deje que la tasa de interés anual compuesto sea j, el número de períodos de acumulación en un año es m. Luego, cada vez que se calcula el interés a la tasa j/m. Tasa j llamado nominal. El interés a la tasa nominal se calcula de acuerdo con la fórmula

donde N - el número de períodos de acumulación (N=nm).

Ejemplo 12 Se emitió un préstamo de 10,000 rublos por 2 años. La tasa nominal de interés compuesto es del 14% anual. Determine la cantidad de deuda acumulada si se calculan los intereses: (1) una vez al año, (2) una vez cada seis meses, (3) una vez al trimestre.

(3) m= 4, j /m=0,14/4=0,035, N=2·4=8. S= 10000 · (1 + 0.035) 8 = 10000 · 1.3168 = 13168 rublos.

Como puede ver en el ejemplo anterior, con la misma tasa de interés nominal, pero con una frecuencia diferente de acumulación de intereses, los resultados difieren: cuanto más interés se acumula, más rápido es el proceso de crecimiento. Por esta razón, la tasa de interés nominal no puede servir como una medida universal de la efectividad de las transacciones financieras.

Oferta efectiva Esta tasa mide el ingreso relativo real recibido en su conjunto durante el año. Es decir la tasa efectiva es la tasa de interés compuesta anual que produce el mismo resultado que m-un cálculo único de la tasa de interés j/m.

Denote su oferta efectiva por yoeh. Si los intereses se capitalizan m una vez al año, cada vez con una apuesta j/m, entonces, por definición, podemos anotar la igualdad de los factores de construcción correspondientes:

donde yoeh - tasa efectiva, y j - nominal. De esto obtenemos que la relación entre las tasas efectivas y nominales se expresa por la razón

La relación inversa tiene la forma

j=m((1+yoeh) 1/ m -1)= .

Cabe señalar que con m> 1 oferta efectiva es mayor que la nominal.

Reemplazo en el acuerdo de tarifa nominal j en m-devengo de intereses en la tasa efectiva yoeh no cambia las obligaciones financieras de las partes involucradas. Ambas apuestas son financieramente equivalentes.

Ejemplo 13 Calcule las tasas de interés efectivas, por ejemplo, 12 y encuentre el monto acumulado de la deuda.

(3) m=4, yoeh= (1 + 0.14 / 4) 4 -1 = 0.1475 o 14.75%. S= 10,000 1.1475 2 = 13,168 rublos.

Ejemplo 14 Determine cuál debería ser la tasa nominal para la acumulación trimestral de intereses para asegurar una tasa efectiva del 12% anual.

Devengo de intereses por un número fraccionario de años. A menudo, el plazo de un préstamo se mide por un número fraccional de períodos de acumulación. En este caso, cuando m-un devengo de intereses de un año por año, el monto acumulado se puede calcular de varias maneras, dando lugar a resultados diferentes:

De acuerdo con la fórmula (2.2) de interés compuesto (método general)

donde N - el número (posiblemente fraccionario) de los períodos de acumulación,

Sobre la base del método mixto, que implica el cálculo de intereses para un número entero de años de acuerdo con la fórmula de interés compuesto, para la parte fraccionaria del término, de acuerdo con la fórmula de interés simple:

donde un - un número entero de períodos de acumulación (un=N Es la parte entera del número. N), b - la parte fraccionaria restante (b=N-un),

En las reglas de varios bancos comerciales para ciertas operaciones, los intereses se devengan solo por un número entero de años u otros períodos de acumulación. La parte fraccional del período se descarta.

Ejemplo 15 El monto del préstamo es de 20 mil den. unidad, que se proporciona por 28 meses. La tasa nominal es del 60% anual. Devengo de intereses trimestralmente. Calcule la cantidad acumulada en tres situaciones: 1) la parte fraccionaria se ignora, 2) el interés compuesto se calcula en la parte fraccionaria, 3) el porcentaje simple se calcula en la parte fraccionaria.

Solución Devengo de intereses trimestralmente. Hay un total de 28/3 = cuartos.

1) S= 20 · (1 + 0.6 / 4) 9 = 20 · 1.15 9 ​​= 20 · 3.5179 = 70.358 mil den. unidades

2) = 20.3.6856 = 73.713 mil den. unidades

3) S= 20 · (1 + 0.60 / 4) 9 · (1+ (1/3) · (0.6 / 4)) = 20 · 3.5179 · 1.05 = 73.876 mil den. unidades

A partir de una comparación de las cantidades acumuladas, vemos que alcanza su valor más alto en el tercer caso, es decir, cuando se aplica el método mixto.

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